Исчисление высказываний можно описать следующим образом. Из данных высказываний p, q, r, … можно с помощью связок строить новые высказывания. При этом необходимо соблюдать последовательность построения и, если необходимо, определить эту последовательность с использованием скобок. Относительно связки используется следующее правило: если за связкой непосредственно следует буква, то связка относится к этой букве; если же сразу после связки открываются скобки, то связка относится ко всему заключённому в скобки выражению.
В высказывании нас интересует, прежде всего, его истинностное значение, т.е. является оно истинным или ложным. Чтобы ответить на этот вопрос, нам ничего не надо знать о составляющих высказываниях, кроме их истинностных значений. Эта информация полностью определяет истинностное значение сложного высказывания. Для обозначения истины используется символ 1, а лжи – символ 0. Истинностное значение высказывания p обозначим через |p|. Тогда для любого p справедливо либо |p| = 0, либо | p| = 1. Для каждой связки можем составить истинностную таблицу, показывающую, когда высказывание, образованное посредством этой связки, истинно, а когда ложно:
Обозначения в столбцах: 1 и 2 – значения простых высказываний p и q; значения сложных высказываний: 3 – «не р», 4 – «p и q»; 5 – «p или q»; 6 – «если p, то q»; 7 – «p тогда и только тогда, когда q»; 8 – «ни p, ни q».
Слева в первом и втором столбцах выписаны все возможные комбинации пары высказываний p, q (т.е. комбинации «p ложно» и «p истинно» с «q ложно» и «q истинно»). Справа выписаны значения полученных высказываний в каждой из возможных комбинаций. В приведенной схеме есть ещё одна новая связка – «черта» в высказывании p ∕ q, которое следует читать как: ни p, ни q (т.е. не p и не q). Это высказывание истинно только тогда, когда оба высказывания p и q ложны. Теперь можно определить истинностные значения более сложных комбинаций высказываний и строить для них истинностные таблицы. Если дано высказывание А, состоящее из высказываний p, q, r, …, то можно попытаться придать p, q, r, …, такие истинностные значения, чтобы А стало истинным. Такая операция называется «выполнением» высказывания А. Если мы сможем осуществить такую операцию, то высказывание А будем называть выполнимым. Если выполнение высказывания А невозможно, то А называется тождественно ложным.
В качестве примера рассмотрим оценку правильности ОТО на основе результатов предсказанных ею значений аномальных смещений перигелиев планет. Большинство специалистов считает, что ОТО является более точной теорией, чем теория Ньютона, так как Эйнштейн с использованием ОТО объяснил аномальное смещение перигелия Меркурия. Однако для других планет предсказанные ОТО значения плохо согласуются данными наблюдений. В таблице 1.1 приведены аномальные смещения перигелиев планет земной группы, определённые Ньюкомом (Newkomb), которые приведены в работе Эйнштейна [10].
Таблица 1.1. Аномальные смещения перигелиев планет (угл. сек за сто лет)
1
Венеру исключаем из рассмотрения из-за больших погрешностей измерений. Тогда говорить о согласии теории с опытом можно только при наличии согласования расчётных значений с данными наблюдений для трёх планет, а не одной из них как у Эйнштейна и многих других исследователей, занимавшихся этой проблемой. Обозначим через А высказывание, суть которого состоит в утверждении, что теория Эйнштейна объясняет эффект аномальных смещений перигелиев планет, а через p, q и r высказывания, содержащие утверждение о том, что предсказанные теорией значения смещений подтверждаются данными наблюдений соответственно для каждой из трёх планет. То есть А является истинным тогда и только тогда, когда «и p и q и r». То есть, А является истинным, если p, q и r являются истинными. Иначе говоря, теория подтверждается опытом, если она даёт правильные предсказания величины эффекта для всех трёх планет. Но это не так. Расчётное значение смещения хорошо согласуется с данными наблюдений только для Меркурия, плохо согласуется с данными для Земли и противоречит данным для Марса. Таким образом, приходим к заключению, что теория Эйнштейна не подтверждается данными наблюдений.
К этому заключению можно было прийти, не применяя формальную логику и процедуру исчисления высказываний. Для этого достаточно объективной оценки данных таблицы 1.1. Теоретически определённое значение смещения для Марса в 6 раз (!) меньше определённого по данным измерений. И это можно было считать более важным критерием оценки правильности теории, чем согласование расчётного значения с наблюдаемым значением только для Меркурия. Тем не менее, несмотря на это, большинство специалистов считает ОТО правильной и более точной теорией, чем теория Ньютона.
Опыт показывает, что в оценке специалистами правильности той или иной теории и интерпретации опытных данных часто большое влияние имеют субъективные факторы. Рассмотрим влияние таких предполагаемых факторов на оценку теории Эйнштейна в данном конкретном случае.
Первое, на что следует обратить внимание, это научный авторитет автора теории. К тому времени, когда появилась статья «Объяснение движения перигелия Меркурия в общей теории относительности» [10], авторитет Эйнштейна среди учёных был очень высок. Следовательно, был высокий уровень доверия и к его новому теоретическому результату.
Во-вторых, как следует из заголовка статьи, речь шла только о Меркурии. Именно для Меркурия эффект смещения перигелия имеет наибольшее значение. Для других планет погрешности измерений велики по сравнению с величиной самого эффекта, особенно для Венеры. Наиболее приемлемой планетой для анализа данных после Меркурия является Марс. Но для него эффект выражен существенно слабее, чем для Меркурия: соответственно 8 угл. сек и 43 угл. сек за столетие.
В-третьих, определённое согласно ОТО значение смещения для Меркурия получило подтверждение данными наблюдений.
В-четвёртых, у специалистов могли быть основания сомневаться в данных точности измерений величины эффекта для других планет в связи с тем, что погрешности измерений сравнимы с величиной эффекта, а у Венеры даже превышают сам эффект. Поэтому данные по другим планетам могли рассматриваться как недостаточно надёжные по сравнению с данными для Меркурия. Тогда оценку правильности ОТО можно свести к согласованию расчётного и наблюдаемого значения смещения только для Меркурия.
Но такую оценку нельзя считать достоверной, так как согласование расчётного и наблюдаемого значения может быть случайным. Кроме того, для одной планеты хорошее согласование теории с опытом может быть получено путём сведения физической проблемы к математической проблеме. Математика позволяет построить правдоподобную теорию, дающую желаемый результат. Поэтому о согласовании теории с опытом можно судить только на основе получения непротиворечивых результатов, по крайней мере, для двух планет, в данном случае Меркурия и Марса.
Таким образом, применение формальной логики необходимо для сведения к минимуму влияния субъективных факторов на результат исследования, включая: авторитет учёного, неполноту учёта используемых данных и субъективную оценку их значимости.
В случае проверки соответствия фундаментальной теории опытным данным следует использовать объективные критерии, выраженные в научных понятиях и числовых характеристиках, используемых, например, в теории вероятностей. В книге [1] были выполнены оценки согласования теоретически определённых согласно ОТО значений смещений перигелия с наблюдаемыми для Земли и Марса. Если множество наблюдаемых значений смещений рассматривать как Х, а теоретически определённое значение как случайную величину х0, то вероятность того, что х0 принадлежит множеству Х, составляет: для Земли 0.09, для Марса 10—4. Таким образом, на основе использования объективных критериев мы приходим к выводу, что ОТО не подтверждается данными измерений. Следует отметить, что в дальнейшем после проведения более точных измерений появились трудности с объяснением эффекта смещения и для Меркурия.
